Simon St-Amant

Le principe d'imagerie par rayons X est assez simple. On envoie un rayon en ligne droite à travers un objet et on mesure la différence entre son intensité à son entrée et à sa sortie. Plus l'objet est dense, plus il absorbera d'énergie et donc plus cette différence sera marquée. Cela nous permet alors d'en apprendre sur la composition interne de l'objet d'une manière non destructive. Supposons maintenant qu'on ne connaisse pas la nature de notre objet, mais que peu importe la droite de l'espace, on sache à quel point un rayon X est absorbé le long de celle-ci. Serions-nous en mesure de reconstruire l'objet? Ce type de problème est souvent qualifié de «problème inverse» et donne lieu à de fascinantes mathématiques. Nous verrons d'autres exemples de problèmes inverses, tels le débruitage d'une image ou la tomographie par impédance électrique, et explorerons des avenues tant analytiques que statistiques pour les résoudre.

De l'analyse de signaux à la théorie des nombres et la cristallographie, les applications de l'analyse de Fourier sont beaucoup trop nombreuses pour toutes les énumérer. Il s'avère que l'idée de Joseph Fourier de décomposer une fonction en somme de fonctions trigonométriques a d'autres utilités que la résolution de l'équation de la chaleur. Nous allons présenter d'un point de vue mathématique une application assez moderne de la théorie de Fourier, l'analyse d'images et la compression JPEG. En passant par la théorie spectrale des graphes, nous nous amuserons à généraliser la compression JPEG à des images définies sur des tores ou tout autre surface. Comme quoi notre ami Joseph se cache souvent où on ne pense pas regarder.

Si \(f\) est une fonction suffisamment gentille, la transformée de Fourier de sa dérivée \(f’\) peut être obtenue de celle de \(f\) tout simplement en la multipliant par \(i\xi\). La généralisation de cette idée mène à l’introduction des opérateurs pseudo-différentiels. Ces derniers forment une classe plus grande que celle des opérateurs différentiels habituels, mais jouissent tout de même de plusieurs propriétés fascinantes. Après avoir exploré plusieurs facettes de ces opérateurs, nous étudierons leur spectre et leurs applications au problème de valeur propre de Steklov.

Soit \(M\) une surface simplement connexe avec frontière lisse. Étant donné une fonction sur la frontière de \(M\), l'opérateur Dirichlet-vers-Neumann habituel y associe la dérivée normale de son extension harmonique. Il est connu que le spectre de cet opérateur est asymptotiquement double et possède un développement asymptotique d'un seul terme qui est précis à tout ordre polynomial. De plus, ce développement dépend uniquement de la longueur de la frontière de \(M\). Nous allons considérer un opérateur Dirichlet-vers-Neumann paramétrique qui, étant donné un nombre réel \(\lambda\), associe des fonctions sur la frontière à la dérivée normale de leur extension satisfaisant \(\Delta u = \lambda u\) dans \(M\), plutôt qu'étant harmonique. En utilisant des techniques pseudo-différentielles, nous allons montrer que le spectre de cet opérateur possède un développement asymptotique complet et en déduire deux nouveaux invariants spectraux. Cet exposé porte sur des travaux en cours avec Jean Lagacé.

Si vous passez beaucoup de temps au cinquième étage d'André-Aisenstadt, vous aurez surement remarqué le faux tableau noir collé au mur à côté du bureau 5247 sur lequel se lit le titre évocateur «Problème du Trio (+ Théo) (+ Florence?)». De nombreux problèmes ont été affichés sur le tableau au cours des derniers mois. Qu'il s'agisse de problèmes d'analyse, de géométrie, d'algèbre ou de combinatoire, la plupart de ceux-ci ont su trouver solution dans les jours suivant leur affichage. La semaine dernière, j'ai inscrit le problème consistant à trouver le nombre d'arbres couvrants dans le graphe cubique. Après plus d'une semaine, voyant que personne n'a trouvé la réponse, j'ai décidé de donner la solution au Clubmath en présentant un joli théorème utilisant l'algèbre linéaire pour venir à la rescousse de la combinatoire.

Jusqu'à tout récemment, très peu (si pas aucun) d'exemples nontriviaux de variétés non-isométriques isospectrales au sens de Steklov avaient été découvertes. Dans cet exposé, nous allons présenter un récent article de C. Gordon, P. Herbrich et D. Webb qui utilise les méthodes de Sunada et de l'action d'un tore pour construire des variétés qui partagent le même spectre de Steklov. Ces méthodes étaient précédemment connues, mais ont été adaptées au problème de Steklov. Nous allons donner quelques exemples de telles paires de variétés et les comparer à des variétés déjà connues comme étant isospectrales au sens de Dirichlet ou de Neumann (ou au sens d'un problème mixte).

De nos jours, la géométrie euclidienne nous semble triviale face aux domaines plus complexes des mathématiques modernes. Pour plusieurs étudiants en mathématiques, leur exposition à la géométrie euclidienne se résume à quelques cours en secondaire 4. Alors, comment se fait-il que, pendant des millénaires, les esprits les plus brillants de l'humanité se soient cassés la tête pour obtenir un B+ à leur deuxième étape? Et pourquoi, malgré leur génie, ont-ils tous été incapables de trisecter un angle, de dupliquer un cube, de trouver la quadrature du cercle ou de construire un parfait heptagone régulier? Nous tenterons de répondre à ces questions en introduisant les nombres constructibles et une touche de théorie de Galois.

Datant de 1885, le théorème de Runge est un théorème fondateur en approximation complexe. Il garantit l'existence de fonctions rationnelles permettant d'approcher uniformément une fonction holomorphe sur un compact du plan complexe. Nous tenterons d'en présenter une preuve relativement directe. N'ayez crainte si votre contact avec les nombres complexes se limite à la formule d'Euler, la présentation sera précédée d'une brève introduction aux concepts d'analyse complexe nécessaires lors de la preuve. Venez nous joindre dans le fabuleux monde de l'analyse complexe!

Le théorème d’approximation de Weierstraß (1885) et son extension obtenue par Stone (1937) semblaient à première vue résoudre tous les problèmes d’approximation polynomiale possibles. Or, ce dernier échoue lorsque appliqué aux nombres complexes et aux fonctions holomorphes. Mais alors sous quelles conditions obtient-on un théorème similaire dans \(\mathbb{C}\) et pouvons-nous étendre le tout dans \(\mathbb{C}^n\)? Nous tenterons de répondre à cette question fondamentale tout en vous introduisant à de magnifiques concepts d’analyse complexe.

Est-il possible d'entendre la forme d'un tambour? Cette question proposée par Mark Kac dans les années 60 est directement reliée à l'étude des valeurs propres du laplacien sur différents domaines et est centrale en théorie spectrale. À la suite d'une introduction à la théorie spectrale, notre but sera de trouver des contres-exemples et une méthode efficace afin de les construire en nous permettant un peu de liberté sur les conditions frontières de nos domaines.